X
تبلیغات
math_think

math_think

حل معادله ي درجه ي 3:

حل معادله ي درجه ي 3 (حساب ديفرانسيل):

معادله ي درجه ي سوم در حالت كلي به فرم ax3+bx2+cx+d=0 مي باشد كه با تقسيم معادله بر  ضريب x3  به فرم x3+Bx2+Cx+D=0  در مي آيد. اكنون با تغيير متغير  x=y-(A/3)  معادله به فرم   y3+py+q=0  درمي آيد. كه در آن:

P=(3C-B2)/3                          q=(2B3-9BC+27D)/27

اگر فرض كنيم  f(y)= y3+py+q  و از تابع مشتق بگيريم داريم:

f’(y)=3y2+p

اگر p>0  آنگاه f’>0   و در نتيجه f صعودي بوده و  يك ريشه ي حقيقي و دو ريشه ي مختلط دارد. اگر p=0 معادله به فرم y3+q=0  خواهد بود كه ريشه هاي آن ريشه هاي سوم q هستند. اگر p<0 در اين صورت f’  دو ريشه ي متمايز دارد. ym=√-(p/3) و  yM=-√-(p/3)  به ترتيب طول نقاط مينيمم و ماكزيمم تابع f هستند. اگر فرض كنيم f(ym)=zm  و  f(yM)=zM  بسته به علامت zm  و zM   مي توان بازه هايي كه ريشه هاي معادله در آن ها قرار دارند پيدا كرد.

الف) zm>0؛ تابع فقط يك ريشه ي حقيقي دارد.

ب) zM<0 ؛ تابع فقط يك ريشه ي حقيقي دراد.

ج) اگر zm يا  zM  صفر باشند، ym  يا  yM   ريشه ي مضاعف تابع است.

د) اگر zm<0M  تابع  سه ريشه ي حقيقي متمايز يكي در (yM ,ym) ديگري در (2yM-ym ,yM) و  سومي در

(ym , 2ym-yM)  دارد.

به زبان ساده تر:

الف) zm.zM>0 ؛ تابع يك ريشه ي حقيقي و دو ريشه ي مختلط دارد.

ب‌)   zm.zM=0 ؛ تابع ريشه ي مضاعف دارد.

ت‌)   zm.zM<0 ؛ تابع سه ريشه ي حقيقي متمايز دارد.

و چون f(ym.yM)=(4/27)p3+q2  zm.zM=  مي توان از عبارت (4/27)p3+q2 به عنوان مبين معادله ي درجه ي سوم استفاده كرد. و چون ضرب عدد مثبت در علامت يك عبارت تاثير ندارد، از شكل محسباتي تر آن يعني    4p3+27q2 سود جست.

اكنون فرض كنيم  y=r+s ريشه اي از معادله باشد.

(r+s)3+p(r+s)+q=0

r3+s3+3rs(r+s)+p(r+s)+q=0

                                                                                                                   r3+s3+(p+3rs)(r+s) +q=0

حال بدون لطمه زدن به كليت مساله مي توان فرض كرد كه   3rs=-p ؛ زيرا حاصل جمع آنها مقداري ثلبت است. پس حاصل ضرب آنها را مي تئان هر عدد دلخواه ناصفري درنظر گرفت. در اين صورت معادله به صورت   r3+s3=-q  در مي آيد كه با فرض 3rs=-p مي توان  r3  و  s3 را از معادله ي درجه دوم زير محاسبه كرد.

t2+qt-(p3/27)=0

و از آنجا:

r=((-q/2)+√((p3/27)+(q2/4)))1/3

s=((-q/2)-√((p3/27)+(q2/4)))1/3

و براي y  به دست مي آيد:

y=r+s

=((-q/2)-√((p3/27)+(q2/4)))1/3 + ((-q/2)+√((p3/27)+(q2/4)))1/3

و به راحتي براي x داريم:

x=y-(A/3)

و حل به پايان رسيده.

مي تونيد فايل pdf  مطالب بالارو از لينك زير دانلود كتيد كه خيلي قشنگتر نوشته شده.

https://myaccount.dropsend.com/storage/download?file_ids[]=2940177


 


برچسب‌ها: حل معادله ي درجه ي 3, حل معادله ي درجه ي سه؛ معادله ي درجه سه, معادله ي درجه ي 3, حل معادله؛ درجه ي 3؛ درجه ي سه ؛ معادلات ئرجه سه؛, معادلات درجه سوم
+ نوشته شده در  دوشنبه پنجم تیر 1391ساعت 19:46  توسط hamid kamali  | 

حل معادله ي درجه ي چهار(روش دوم):

معادله ي درجه ي چهار ax4+bx3+cx2+dx+e=0 را در نظر بگيريد. معادله را به فرم زير بازنويسي كنيد:

x4+2((b/2)(x2))(x)+(bx/2)2=((b/4)-c)x2-dx-e       

(x2+(b/2)x)2=((b/4)-c)x2-dx-e                                      (1)

اكنون از متغير كمكي y استفاده مي كنيم و آن را وارد معادله مي كنيم.

(x2+(b/2)x)2+2y((x2+(b/2)x) +y2=2y((x2+(b/2)x) +y2+((b/4)-c)x2-dx-e

(x2+(b/2)x+y)2=((b/4)-c+2y)x2+(by-d)x-e+y2                       (2)

اگر بتوان y را به گونه اي پيدا كرد كه طرف دوم  داراي ريشه ي مضاعف باشد، با جذر گرفتن از طرفين، به دو معادله ي درجه ي دوم مي رسيم كه به راحتي قابل حل هستند.

(by-d)2-4((b/4)-c+2y)(y2-e)=0

y3+(1/8)(b-4c-b2)y2+(2bd-8e)y-(e(b-4c)+ d2)=0               (3)

فرض كنيد مقدار y  را از معادله ي  (3) به دست آورده باشيم (با حل معادله ي (3) كه از درجه ي سوم است ). اكنون طرف راست معادله ي (2) به صورت A(x+B)2 قابل تجزيه خواهد بود. و از آنجا:

(x2+(b/2)x+y)2=A(x2+B)2

(x2+(b/2)x+y) = ± (x+B).√A

و حل كامل است.


برچسب‌ها: حل معادله ي درچه ي 4, حل معادله ي درجه ي چهار, solve equation deegre 4, حل معادله
+ نوشته شده در  شنبه سوم تیر 1391ساعت 20:11  توسط hamid kamali  | 

حل معادله ي درجه ي چهار

حل معادله ي درجه ي چهار:

معادله ي درجه ي چهار ax4+bx3+cx2+dx+e=0 را در نظر بگيريد. اگر از تغييرمتغير  x=y-b/4a استفاده كنيم به معادله ي زير مي رسيم.

y4+py2+qy+k=0                            (1)

اكنون معادله را به صورت زير بازنويسي مي كنيم:

y4+py2+(p2/4)= -qy-k+(p2/4)          

(y2+(p/2))2=-qy-k+(p2/4)                 (2)

اكنون از متغير كمكي t  استفاده مي كنيم و آن را وارد معادله مي كنيم.

(y2+(p/2))2+2t(y2+(p/2))+t2=2t(y2+(p/2))+t2-qy-k+(p2/4)

(y2+(p/2)+t)2=2ty2-qy-k+tp+(p2/4)+t2                      (3)

اگر بتوان t را به گونه اي پيدا كرد كه طرف دوم  داراي ريشه ي مضاعف باشد، با جذر گرفتن از طرفين، به دو معادله ي درجه ي دوم مي رسيم كه به راحتي قابل حل هستند.

(-q)2-4(2)(tp-k+t2+(p2/4))=0            

t3+pt2+((p2/4)-k)t-(q2/8)=0               (4)

فرض كنيد مقدار  t  را از معادله ي  (4) به دست آورده باشيم (با حل معادله ي (4) ). اكنون طرف دوم معادله ي (2) به صورت A(y+B)2 قابل تجزيه خواهد بود.

(y2+(p/2)+t)2=A(y2+B)2

(y2+(p/2)+t) = ± (y+B).√A                (5)

معادله ي (5) چهار ريشه ( حقيقي يا موهومي ) دارد كه با به دست آوردن آنها به راحتي مقدار x محاسبه مي شود

x=y-b/4a

 

 


برچسب‌ها: حل معادله ي درچه ي 4, حل معادله ي درجه ي چهار, solve equation deegre 4, حل معادله
+ نوشته شده در  شنبه سوم تیر 1391ساعت 19:17  توسط hamid kamali  | 

تقریب تابع معکوس برای حل معادله ی f(x)=0 :

تقریب تابع معکوس برای حل معادله ی f(x)=0 :

یک روش منطقی برای حل معادله ی f(x)=0 این است که تابع معکوس را در صورت وجود به دست آوریم و مقدار  آن را برای   x=0 محاسبه کنیم. اما مسلم است که این کار برای همه ی توابع امکان پذیر نیست. زیرا اولاً باید تابع مفروض یک به یک باشد (لااقل در بازه ای که می خواهیم تابع معکوس را بیابیم) و درثانی باید بتوان آن را برحسب بک تابع صریح از x نوشت...

ادامه در فايل pdf زير:

دانلود  فايل pdf  از لينك زير:

https://myaccount.dropsend.com/storage/download?file_ids[]=2934547


برچسب‌ها: حل معادله؛ حل معادله ي f, x, 0 ؛ تقريب تابع معكوس؛ تقريب تابع معكوس براي حل معا, 0 ؛ تيلور و تقريب تابع معكوس؛ تابع معكوس و تقريب آ
+ نوشته شده در  چهارشنبه سی و یکم خرداد 1391ساعت 12:32  توسط hamid kamali  | 

حل معادله ي f(x)=0

حل معادله یf(x)=0

تابع y=f(x)  که روی [a,b]  پیوسته و روی (a,b) n+1 بار مشتق پذیر است را در نظر بگیرید. برای هر دو عدد مثل c و x  متعلق به [a,b]  و هر ξ  که بین x  و c باشد، طبق قضیه ی تیلور رابطه ی زیر برقرار است :

دانلود فایل pdf از لینک زیر:

https://myaccount.dropsend.com/storage/download?file_ids[]=2933241


برچسب‌ها: حل معادله, حل معادله ی f, x, 0, معادله, حل, حل معادله با بسط تیلور, سریع ترین روش برای حل معادله
+ نوشته شده در  یکشنبه بیست و هشتم خرداد 1391ساعت 15:56  توسط hamid kamali  |